一、集合元素的個數以最常見的全排列為例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，則每一個九位數都是集合A的一個元素，集合A中共有9！個元素。以下我們用S（A）表示集合A的元素個數。

    二、集合的對應關系兩個集合之間存在對應關系（以前學的函數的概念就是集合的對應關系）。如果集合A與集合B存在一一對應的關系，則S（A）=S（B）如果集合A中每個元素對應集合B中N個元素，則集合B的元素個數是A的N倍（嚴格的定義是把集合B分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數為N，這時子集成為集合B的元素，而A的元素與B的子集有一一對應的關系，則S（B）=S（A）*N

    例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的六位數集合A為數字不重復的九位數的集合，S（A）=9！集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數，等于剩余的3個數的全排列，即3！這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系，則 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！這就是我們用以前的方法求出的P（9，6）

    例2：從編號為1-9的隊員中選6人組成一個隊，問有多少種選法？設不同選法構成的集合為C，集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合B分為子集的集合，規(guī)則為全部由相同數字組成的數組成一個子集，則每個子集都是某6個數的全排列，即每個子集有6！個元素。這時集合C的元素與B的子集存在一一對應關系，則 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！這就是我們用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是簡單的例子，似乎不用弄得這么復雜。但是集合的觀念才是排列組合公式的來源，也是對公式更深刻的認識。大家可能沒有意識到，在我們平時數物品的數量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合（1，2，3，4，5）建立一一對應的關系，正是因為物品數量與集合（1，2，3，4，5）的元素個數相等，所以我們才說物品共有5個。

    我寫這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更復雜的問題。 例3：9個人坐成一圈，問不同坐法有多少種？ 9個人排成一排，不同排法有9！種，對應集合為前面的集合A 9個人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點和終點之分。設集合D為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點，把圈展開成直線，在集合A中都對應不同元素，但在集合D中相當于同一種坐法，所以集合D中每個元素對應集合A中9個元素，所以S（D）=9！/9 我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個人，再排其他人，結果為8！。這個方法實際上是找到了一種集合A與集合D之間的對應關系。用集合的思路解決問題的關鍵就是尋找集合之間的對應關系，使一個集合的子集與另一個集合的元素形成一一對應的關系。

    例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，但要求1排在2前面，求符合要求的九位數的個數。集合A為9個數的全排列，把集合A分為兩個集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。則S（B）+S（C）=S（A）在集合B、C之間建立以下對應關系：集合B中任一元素1和2位置對調形成的數字，對應集合C中相同數字。則這個對應關系為一一對應。因此S（B）=S（C）=9！/2 以同樣的思路可解出下題：從1、2、3…，9這九個數中選出3個不同的數作為函數y=ax*x+bx+c的系數，且要求a>b>c，問這樣的函數共有多少個？

    例5：M個球裝入N個盒子的不同裝法，盒子按順序排列。這題我們已經討論過了，我再用更形象的方法說說。假設我們把M個球用細線連成一排，再用N-1把刀去砍斷細[FS:PAGE]線，就可以把M個球按順序分為N組。則M個球裝入N個盒子的每一種裝法都對應一種砍線的方法。而砍線的方法等于M個球與N-1把刀的排列方式（如兩把刀排在一起，就表示相應的盒子里球數為0）。所以方法總數為C（M+N-1，N-1）

    例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有________排法. 解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設四部分人數分別為X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一樣，則不同排法為方程 X1+X2+X3+X4=4的解的個數，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化為求X1+Y2+Y3+X4=2的非負整數解的個數，這與把2個球裝入4個盒子的方法一一對應，個數為C（5，3）=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每種排法都對應4個人的全排列4！，所以不同排法共有C（5，3）*4！=240種。 集合的方法運用熟練后，不需要每次具體設定集合，但頭腦中要有清晰的對應關系。